激光等离子体物理学习（5）

2.激光与等离子体相互作用：

2.3激光在等离子体中的传播：

在等离子体物理中，我们通常将物理量按照高频成分与低频成分分开处理（前面在推导激光有质动力时就有所体现），一般认为，高频部分是对高频场的响应，而低频部分为对时间的平均值的贡献。
对于高频电流，由于在我们讨论的时空尺度下，离子由于质量很大难以响应高频场，我们只需要考虑电子的贡献；同时，对于我们所涉及到的相对论情形，等离子体波的传播速度远小于流体的流速，故而我们将电子视为经历了绝热过程，热运动的特征速度表示为$v_{te}=\sqrt{k_BT_e/m_e} $，根据绝热方程与气体状态方程，可以得到：

$$\nabla P_e=\gamma_e n_ek_BT_e\nabla n_e$$

其中$\gamma_e=3$。为了描述等离子体波的传播，我们假想等离子体内部发生偏离平衡状态的小微扰$n_e=n_0+n_{e1}$，$\vec{u}=\vec{u}_0+\vec{u}_{e1} $，$\vec{E}=\vec{E}_0+\vec{u}_{1} $，忽略磁场的影响，由于平衡时等离子体内部的均匀性，有：

$$\begin{cases}\nabla n_0=0,\ \vec{u}_0=0,\ \vec{E}_0=0,\\ \frac{\partial n_0}{\partial t }=\frac{\partial\vec{u}_0 }{\partial t }=\frac{\partial \vec{E}_0 }{\partial t }=0, \end{cases}$$

同时，我们假设所有的一阶物理量都是正弦的，相因子为$\phi =kx-\omega t$，于是，我们可以将2.2中的方程线性化：

$$\begin{cases}\frac{\partial n_j}{\partial t } +\nabla \cdot (n_j\vec{u}_j )=0， \\ m_jn_j\frac{\mathrm{d}\vec{u}_j }{\mathrm{d}t }=q_jn_j(\vec{E}+\vec{u}_j \times \vec{B} )-\nabla P_j -m_jn_j\gamma _{ij}(\vec{u}_i -\vec{u}_j )，\\ \nabla \cdot \vec{E}=\frac{1}{\varepsilon _0}\sum_{j}n_jq_j,\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}-i\omega n_{e1}+ikn_0u_{e1}=0,\\ -i\omega m_en_0u_{e1}=-en_0E_1-ik(3k_BT_en_{e1}),\\ ikE_1=-\frac{e}{\varepsilon _0}n_{e1},\ \end{cases}$$

最终可以得到：

$$\omega ^2=3 v_{te}^2k^2+\omega _{pe}^2,$$

这就是电子等离子体波（纵波，也就是声波）在等离子体内传播的色散公式，而对于离子，类似地有：

$$\omega ^2=v_s^2k^2,\ v_s=\sqrt{(\gamma _iT_i+\gamma_eT_e)/m_i} ,$$

对于电磁波（横波）的传播，我们考虑电子受电场作用驱动加速形成等效电流，引用导体中的色散公式有：

$$\begin{cases}m_e\frac{\partial \vec{v} }{\partial t } =-e\vec{E}_1，\\ \vec{J}=-n_0e\vec{v}， \\ \vec{J}=\sigma \vec{E}_1，\\ k^2=\omega ^2\mu _0(\varepsilon +i\sigma /\omega )， \end{cases} \Rightarrow \omega ^2=\omega _{pe}^2+c^2k^2，$$

折射率可以写为:

$$\eta =ck/\omega =\sqrt{1-\frac{\omega _{pe}^2}{\omega ^2} } ,$$

根据电磁波可以在等离子体内传播的临界点，可以得到等离子体的临界密度：

$$n_c=\frac{m_e\varepsilon _0}{e^2} \omega ^2 \approx 1.1\times 10^{21}(\frac{\lambda }{\mu m} )^{-2}cm^{-3},$$

有关这部分内容的知乎上的文章：
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