激光等离子体物理学习（2）

1.激光与单电子相互作用：

1.2激光有质动力：

现在，我们需要考虑更加真实的情况，比如在空间中有较大径向光梯度的情况（几个波长范围内），此时电子还会收到激光有质动力的作用。较为简单地，我们把有质动力定义为：时间平均意义下激光强度的梯度带来的相互作用。考虑非相对论情况：电子在聚焦激光的中心处附近振荡，假设激光沿$x$方向传播，同时激光的电场强度沿径向分布，电子的横向运动可以写为：

$$\frac{\partial v_r }{\partial t}=-\frac{e}{m_e}E_r (\vec{r})$$

对$r$作泰勒展开可以得到：

$$E_r (r)=E_0(r)\cos \phi +r \frac{\partial E_0(r)}{\partial r} \cos \phi +\dots$$

我们采用迭代的方法，先取第一项，获得$r^{(0)}=v_{os}\cos \phi /\omega ,v_{os}=eE_0/m\omega _0$，将此结果带入可以得到第一阶的影响,我们定义：

$$f_p\equiv m_e\frac{\overline{\partial v_r^{(1)}} }{\partial t }=-\frac{e^2}{4m_e\omega _0^2}\frac{\partial E_0^2}{\partial r}$$

对于这个力的来源，我们可以作如下理解：电子前半个周期相比与后半个周期距离中心更加近，受到的力也就更大，后半个周期受到的力不足让电子回到中心，周期结束之后电子会在横向有一个漂移距离，即受到了有质动力的作用，当然，更普遍的，激光的场强变化不仅仅在横向。
如果要考虑相对效应，我们必须从洛伦兹方程出发：

$$\frac{\partial \vec{p}}{\partial t } +(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{p}=e[\frac{\partial \vec{A} }{\partial t } -\vec{v} \times (\nabla \times \vec{A} ) ]$$

我们按照运动的时间尺度，将运动分为快变的$\vec{p}^f=e\vec{A}$与慢变的$\vec{p}^s$，前者来自激光电场的直接作用，后者来自于激光强度梯度作用下的时间平均效果，计算可得（注意到慢变成分相对于快变成分理所应当地是一个小量，否则何来快变？）：

$$\vec{f}_p=\frac{\mathrm{d} \vec{p}^s }{\mathrm{d}t } =-m_ec^2\nabla\bar{\gamma }$$

其中$\bar{\gamma }=(1+p_s^2/m_e^2c^2+a_0^2/2)^{\frac{1}{2} } $，这个结果对于流体描述下的等离子体中电子的集体效应也适用。
更加严格地，我们可以从带电粒子与电磁场的作用量出发：

$$S=S_{fp}+S_{int}+S_{em}=\int(-m_ec^2)\mathrm{d}s +\int (\frac{e}{c} A^\mu u_\mu )\mathrm{d}s+\int (-\frac{1}{4\mu_0}F^{\mu \nu} F_{\mu\nu })\mathrm{d}^4x$$

三项分别表示电子运动的作用量，电子与电磁场相互作用的作用量以及电磁场的作用量，根据最小作用量原理我们也会发现一样的结果，说明前面的假设是一个较为合理的假设。